Plano de Ensino

IDENTIFICAÇÃO

EMENTA

Números complexos. Cálculo no plano. Funções holomorfas. Séries. Teoria de Cauchy. Singularidades. 

JUSTIFICATIVA

A disciplina visa estender os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral para as funções de uma variável complexa. As funções de uma variável complexa têm aplicações em várias áreas do conhecimento, além de ser por si só um assunto bastante rico, por isso a importância do seu estudo. 

OBJETIVO

PROGRAMA

1. Números Complexos 

1.1 Introdução. 

1.2 O Corpo dos números complexos. 

1.3 Representação polar. 

2. Cálculo no Plano 

2.1 Domínios. 

2.2 Limites, continuidade e diferenciabilidade. 

2.3 O Teorema de Green. 

3. Funções Holomorfas 

3.1 Funções complexas. 

3.2 Limites e continuidade. 

3.3 A derivada complexa. 

3.4 Funções holomorfas. 

3.5 A exponencial. 

3.6 O logaritmo. 

3.7 Potências arbitrárias. 

4. Séries 

4.1 Seqüências e séries numéricas. 

4.2 Séries de potências. 

4.3 O raio de convergência 

5. Teoria de Cauchy 

5.1 Integração. 

5.2 Os teoremas de Cauchy. 

6. Singularidades 

6.1 A expansão de Laurent. 

6.2 Classificação de singularidades. 

6.3 Resíduos. 

6.4 Cálculo de integrais utilizando resíduos. 

METODOLOGIA

As atividades da disciplina serão desenvolvidas por meio de: 

• Atividades síncronas, que totalizarão 45 horas e serão realizadas semanalmente às segundas-feiras das 20:50 às 22:30 e às quartas-feiras das 19:00 às 20:40. Compõem as atividades síncronas: reuniões por meio de videoconferência (para aulas ou avaliações) e plantões de atendimento (para discussão de dúvidas de qualquer natureza  referentes ao conteúdo da disciplina). A plataforma utilizada será o Microsoft Teams e as aulas serão gravadas e disponibilizadas aos discentes. 

• Atividades assíncronas, totalizando 15 horas e compostas por tarefas, que podem incluir: vídeos a serem assistidos, textos a serem lidos, resolução de listas de exercícios, comentários sobre vídeos indicados, produção de pequenos vídeos, dentre outros. As tarefas serão realizadas pelo discente e entregues em dia e horário combinados, através da plataforma Microsoft Teams. 

Em caso de problemas técnicos ou alguma outra impossibilidade de usar a plataforma Microsoft Teams, será combinada com os discentes uma outra forma de realização e entrega das atividades. 

Os materiais das aulas serão disponibilizados aos discentes na plataforma, e também serão indicados, a título de enriquecimento e complementação dos estudos, títulos de livros ou outros materiais que possam ser acessados de forma remota através dos sistema de bibliotecas da UFU ou de outra biblioteca virtual.  

AVALIAÇÃO

A avaliação se dará por meio de duas provas individuais e com consulta, com pontuação máxima de 30 cada uma, mais tarefas individuais totalizando 40 pontos. A nota final (NF) de cada aluno será calculada de acordo com a fórmula: 

NF = P₁ + P₂ + T, 

onde P₁ e P₂ são as notas da primeira e segunda provas e  T é a soma das notas das tarefas. As tarefas  serão semanais e consistirão de produção de vídeos de gravação de tela com a  explicação da solução de algum(ns) exercício(s) selecionado(s). Cada uma das provas consistirá de duas partes: um questionário valendo 5 pontos e um vídeo de gravação de tela, valendo 25 pontos, com a explicação da solução dos exercícios do questionário. Em todas as tarefas o aluno deverá  aparecer no vídeo enviado. Os discentes serão orientados, na primeira semana de aula, sobre as formas de gravar e enviar os vídeos das tarefas. 

No final do semestre, todos os alunos poderão fazer uma prova substitutiva de qualquer uma das duas avaliações, cuja nota substituirá a nota original da avaliação escolhida, caso seja maior. A prova substitutiva seguirá o mesmo formato das duas primeiras provas.   

As atividades avaliativas serão enviadas pelos discentes através do campo "Tarefas" da plataforma Microsoft Teams.  Em caso de problemas técnicos ou alguma outra impossibilidade de usar a plataforma citada, será combinada com os discentes uma outra forma de entregar as atividades, preferencialmente através do e-mail institucional. 

As datas das provas serão acordadas com os alunos na primeira aula da disciplina e constam abaixo. Tais datas podem ser modificadas a pedido e com a concordância de toda a turma ou por motivos de força maior.  

P₁ - 19/04; 

P₂ - 09/06; 

Substitutiva - 16/06. 

As provas serão realizadas de forma síncrona, e nas reuniões marcadas para a realização das mesmas, os discentes devem ingressar e permanecer com a câmera ligada. Sem esse recurso, não será possível que o discente realize a atividade na data marcada.  

Os critérios de correção das tarefas serão o desenvolvimento da solução do exercício e principalmente a  explicação oral da solução, além da verificação da exigência de aparecer no vídeo o discente e a solução escrita pelo mesmo e escaneada ou fotografada. 

A assiduidade dos discentes será aferida da seguinte forma: nas atividades síncronas, através da lista de  presença da reunião e nas atividades assíncronas pela entrega da atividade até a data e hora marcadas. 

BIBLIOGRAFIA

Básica

[1] Ávila, G., Variáveis Complexas e Aplicações. 3ª Edição. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2000. 

[2] Lins Neto, A., Funções de uma Variável Complexa. Rio de Janeiro: SBM – Coleção Projeto Euclides, 1996. 

[3] Soares, M., Cálculo em uma Variável Complexa. Rio de Janeiro: SBM – Coleção Matemática  Universitária, 2001.                                   

Complementar

[4] Ahlfors, L. V., Complex Analysis. 3ª Edição. New York: McGraw Hill, 1979. 

[5] Churchil, R. V., Complex Variables and Applications. 7ª Edição. New York: McGraw Hill, 2003. 

[6] Honig, C. S., Introdução às Funções de uma Variável Complexa. Poços de Caldas: CBM –Colóquios Brasileiros de Matemática, 1967. Disponível em: <https://impa.br/wp-content/uploads/2017/04/6_CBM_67_09.pdf> 

[7] Nachbin, A., Zárate, A. R., Tópicos Introdutórios à Análise Complexa Aplicada. Rio de Janeiro: CBM – Colóquios Brasileiros de Matemática, 2007. Disponível em: <https://impa.br/wp-content/uploads/2017/04/26CBM_14.pdf> 

[8] Shokranian, S., Variável Complexa 1. Brasília: EditoraUnB, 2003. 

APROVAÇÃO

Aprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/______

Coordenação do Curso de Graduação: _________________________

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Documento assinado eletronicamente por Alisson Rafael Aguiar Barbosa, Professor(a) do Magistério Superior, em 29/05/2021, às 17:40, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.

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