Plano de Ensino

IDENTIFICAÇÃO

EMENTA

Anéis, ideais e corpos. Anéis de polinômios e domínios euclidianos. Aplicações. Anéis fatoriais. Extensões algébricas. Construções com régua e compasso.

JUSTIFICATIVA

Os conceitos, princípios e métodos da Álgebra constituem ferramentas essenciais nos processos de abstração, generalização, e análise de situações matemáticas. Por isso esta disciplina se faz importante no processo de aprendizado do aluno já que permite entender e desenvolver habilidades em todas as áreas da Matemática.

OBJETIVO

Aprofundar e diversificar os conhecimentos do aluno nas áreas de teoria dos corpos e teoria dos números, através do estudo de anéis e domínios euclidianos e extensões de corpos. Apresentar e solucionar problemas clássicos como a quadratura do círculo, a duplicação do cubo e a trissecção do ângulo de 60º através de régua e compasso, usando a teoria dos corpos. Expandir os conhecimentos do aluno na área de teoria dos números, introduzindo o inteiro de Gauss e sua relação com o problema dos naturais que são soma de dois quadrados.

PROGRAMA

1. ANÉIS, IDEAIS E CORPOS
1.1. Anéis: definição, exemplos e propriedades.
1.2. Anéis de integridade.
1.3. Corpos.
1.4. Sub-anéis e sub-corpos.
1.5. Homomorfismos e isomorfismos.

1.6. Ideais.
1.7. Anéis quocientes.
1.8. Corpo de frações de um anel de integridade.
2. ANÉIS DE POLINÔMIOS E DOMÍNIOS EUCLIDIANOS
2.1. Definição e exemplos.
2.2. Anéis de polinômios.
2.3. Domínios euclidianos.
2.4. Fatoração única em domínios euclidianos.
2.5. Fatoração única em anéis de polinômios.
2.6. Relação entre raízes e fatores de um polinômio.
2.7. Critério de Eisenstein.
2.8. Resultante de dois polinômios.
3. APLICAÇÕES
3.1. Caracterização dos inteiros que são soma de dois quadrados.
3.2. Soluções inteiras da equação x2 + y2 = z2.
3.3. Teorema de Bezout.
4. ANÉIS FATORIAIS
4.1. Anéis de integridade. Divisibilidade num anel de integridade.
4.2. Anéis principais e fatoriais.
5. EXTENSÕES ALGÉBRICAS
5.1. Definição de extensões, elemento algébrico, transcendente e extensões algébricas.
5.2. Adjunção de raízes.
5.3. Corpo de decomposição de um polinômio.
5.4. Grau de uma extensão: extensão finita e extensão algébrica, grau e base de uma extensão simples.
6. CONSTRUÇÕES COM RÉGUA E COMPASSO
6.1. Números construtíveis.
6.2. Critérios de construtibilidade.
6.3. Aplicações: trissecção do ângulo de 60°, duplicação do cubo e a quadratura do círculo.

METODOLOGIA

As atividades assíncronas serão desenvolvidas por meio do ambiente virtual de aprendizagem (AVA) oficial da UFU: o Moodle (www.moodle.ufu.br) e estão planejadas da seguinte forma:

Como citado no item acima o programa será desenvolvido por meio de videoaulas e atividades assíncronas no Moodle UFU que contabilizarão 30 horas da carga horária total. Será disponibilizado notas de aula em pdf e vídeos contemplando todo o conteúdo do curso. As atividades síncronas serão realizadas uma vez por semana por meio plantão de dúvidas (webconferência via Mconf,  ou MTeams). Cada webconferência terá duração de aproximadamente 140 minutos correspondendo a 30  horas da carga horária total e estão previamente programadas para acontecer todas as quintas-feiras das 14h00 às 15h40.

AVALIAÇÃO

Todas as atividades avaliativas serão postadas no Moodle conforme quadro abaixo:

A nota final será determinada pela soma dos pontos obtidos pelo aluno nas atividades descritas no quadro de avaliação, desta forma, a avaliação acontecerá de forma continuada no ambiente virtual de aprendizagem da UFU. Apenas para os alunos que não atingirem a nota de 60 pontos, será aplicado um exame de recuperação que versará sobre toda a matéria do semestre. Neste caso, o aluno será aprovado se alcançar aproveitamento maior ou igual a 60% no exame final, sendo que a nota final nesse caso será igual a 60 pontos.

BIBLIOGRAFIA

Básica

[1] GARCIA, A. E LEQUAIN, I., Elementos de Álgebra. Rio de Janeiro: SBM - Coleção Projeto Euclides, 2002.
[2] GONÇALVES, A., Introdução á Álgebra. Rio de Janeiro: SBM - Coleção Projeto Euclides, 1979.
[3] LANG, S., Algebra. Springer-Verlag, 2002.

Complementar

[4] ANDRADE, J. F. Tópicos de álgebra comutativa. Rio de Janeiro: IMPA, 1981.
[5] ARTIN, M. Algebra. Upper Saddle River: Prentice-Hall, 1991.
[6] DOMINGUES, H. H. E IEZZI, G. Álgebra moderna. São Paulo: Atual Editora, 1982.

[7] GREUEL, G. M. A singular introduction to commutative algebra. Berlin; New York: Springer, 2002.
[7] HERSTEIN, I. N. Tópicos de álgebra. São Paulo: Polígono: EDUSP, 1970.
[8] VILANOVA, C. Elementos da teoria dos grupos e da teoria dos anéis. Rio de Janeiro: IMPA, 1972.

APROVAÇÃO

Aprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/______

Coordenação do Curso de Graduação: _________________________

---

Documento assinado eletronicamente por Alisson Rafael Aguiar Barbosa, Professor(a) do Magistério Superior, em 29/05/2021, às 12:52, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.

---

A autenticidade deste documento pode ser conferida no site https://www.sei.ufu.br/sei/controlador_externo.php?acao=documento_conferir&id_orgao_acesso_externo=0, informando o código verificador 2803775 e o código CRC BB6EF0C8.

---