Plano de Ensino

IDENTIFICAÇÃO

EMENTA

Topologia do Rⁿ. Caminhos em Rⁿ. Funções reais de n variáveis. Aplicações de Rⁿ em R^m. Integrais múltiplas.

JUSTIFICATIVA

Essa disciplina estende os conceitos já estudados na Análise I, como limite, continuidade, diferenciabilidade e integração, para funções reais de n variáveis, caminhos em Rⁿ e aplicações de Rⁿ em R^m. O curso faz uma rápida introdução à Topologia de Rⁿ, destacando as principais características topológicas dos espaços de dimensão maior que 1. Em seguida já somos preparados para demonstrar os principais teoremas da disciplina, o Teorema da Função Inversa e o Teorema da Função Implícita. O principal foco da parte final é uma introdução às integrais múltiplas, destacando o Teorema da Mudança de Variáveis e as condições suficientes de integrabilidade. Essa disciplina é exigida para o ingresso em muitos cursos de Mestrado e, em geral, esses cursos a oferecem, como forma de seleção, como um Curso de Verão. É de suma importância, portanto, que o aluno tenha pleno desenvolvimento da disciplina no curso de graduação.

OBJETIVO

PROGRAMA

1. TOPOLOGIA DO R^N

1.1. O espaço euclidiano n-dimensional.

1.2. Bolas e conjuntos limitados.

1.3. Conjuntos abertos.

1.4. Sequências em Rⁿ.

1.5. Conjuntos fechados.

1.6. Conjuntos compactos.

1.7. Aplicações contínuas.

1.8. Continuidade uniforme.

1.9. Homeomorfismos.

1.10.Conjuntos Conexos.

1.11.Limites.

2. CAMINHOS EM R^N

2.1. Caminhos diferenciáveis.

2.2. Cálculo diferencial de caminhos.

2.3. A integral de um caminho.

2.4. Caminhos retificáveis.

3. FUNÇÕES REAIS DE N VARIÁVEIS

3.1. Derivadas parciais.

3.2. Funções diferenciáveis.

3.3. O gradiente de uma função diferenciável.

3.4. O Teorema de Schwarz

3.5. Fórmula de Taylor.

3.6. Multiplicador de Lagrange.

4. APLICAÇÕES DE Rⁿ EM R^m

4.1. Diferenciabilidade de uma aplicação (derivada como transformação linear).

4.2. A regra da cadeia.

4.3. A desigualdade do valor médio.

4.4. A fórmula de Taylor.

4.5. Teorema da Aplicação Inversa.

4.6. A forma local das submersões e Teorema das Funções Implícitas.

4.7. A forma local das imersões.

4.8. Teorema do Posto.

5. INTEGRAIS MÚLTIPLAS

5.1. A definição de integral.

5.2. Conjuntos de medida nula.

5.3. Funções integráveis: caracterização e propriedades básicas.

5.4. A integral com limite de somas de Riemann.

5.5. Integração repetida e o Teorema de Fubini.

5.6. Mudança de variáveis.

METODOLOGIA

As atividades da disciplina serão desenvolvidas por meio de:

• Atividades síncronas, que totalizarão 60 horas e serão realizadas semanalmente às segundas, terças e quintas das 16:00 às 17:40, conforme cronograma disponibilizado aos discentes na primeira semana de aula. Compõem as atividades síncronas: reuniões por meio de videoconferência (para aulas ou avaliações) e plantões de atendimento (para discussão de dúvidas de qualquer natureza referentes ao conteúdo da disciplina). A plataforma utilizada será o Microsoft Teams e as aulas serão gravadas e disponibilizadas aos discentes.

• Atividades assíncronas, totalizando 30 horas e compostas por tarefas, que podem incluir: vídeos a serem assistidos, textos a serem lidos, resolução de listas de exercícios, comentários sobre vídeos indicados, produção de pequenos vídeos, dentre outros. As tarefas serão realizadas pelo discente e entregues em dia e horário combinados, através da plataforma Microsoft Teams.

Em caso de problemas técnicos ou alguma outra impossibilidade de usar a plataforma Microsoft Teams, será combinada com os discentes uma outra forma de realização e entrega das atividades.

Os materiais das aulas serão disponibilizados aos discentes na plataforma, e também serão indicados, a título de enriquecimento e complementação dos estudos, títulos de livros ou outros materiais que possam ser acessados de forma remota através dos sistema de bibliotecas da UFU ou de outra biblioteca virtual. 

AVALIAÇÃO

A avaliação se dará por meio de três provas individuais e com consulta, com pontuação máxima de 20 cada uma, mais tarefas individuais totalizando 40 pontos. A nota final (NF) de cada aluno será calculada de acordo com a fórmula:

NF = P₁ + P₂ + P₃ + T,

onde P_1, P₂ e P₃ são as notas da primeira, segunda e terceira provas e T é a soma das notas das tarefas. As tarefas  serão semanais e consistirão de produção de vídeos de gravação de tela com a explicação da solução de algum(ns) exercício(s) selecionado(s). Cada uma das provas consistirá de duas partes: a primeira parte valerá 5 pontos e será composta por uma ou mais questões cujas soluções deverão ser entregues de forma escaneada ou fotografada. A segunda parte consistirá de um vídeo de gravação de tela, valendo 15 pontos, com a explicação das soluções dos exercícios da primeira parte. Em todas as tarefas de vídeos de gravação de tela o aluno deverá aparecer no vídeo enviado. Os discentes serão orientados, na primeira semana de aula, sobre as formas de gravar e enviar os vídeos das tarefas.

No final do semestre, todos os alunos poderão fazer uma prova substitutiva de qualquer uma das duas avaliações, cuja nota substituirá a nota original da avaliação escolhida, caso seja maior. A prova substitutiva seguirá o mesmo formato das duas primeiras provas.  

As atividades avaliativas serão enviadas pelos discentes através do campo "Tarefas" da plataforma Microsoft Teams.  Em caso de problemas técnicos ou alguma outra impossibilidade de usar a plataforma citada, será combinada com os discentes uma outra forma de entregar as atividades, preferencialmente através do e-mail institucional.

As datas das provas serão acordadas com os alunos na primeira aula da disciplina e constam abaixo. Tais datas podem ser modificadas a pedido e com a concordância de toda a turma ou por motivos de força maior.

P₁ - 08/04;

P₂ - 11/05;

P₃ - 15/06;

Substitutiva - 17/06.

As provas serão realizadas de forma síncrona, e nas reuniões marcadas para a realização das mesmas, os discentes devem ingressar e permanecer com a câmera ligada. Sem esse recurso, não será possível que o discente realize a atividade na data marcada.

Os critérios de correção das tarefas serão o desenvolvimento da solução do exercício e principalmente a explicação oral da solução, além da verificação da exigência de aparecer no vídeo o discente e a solução escrita pelo mesmo e escaneada ou fotografada.

A assiduidade dos discentes será aferida da seguinte forma: nas atividades síncronas, através da lista de presença da reunião e nas atividades assíncronas pela entrega da atividade até a data e hora marcadas.

BIBLIOGRAFIA

Básica

[1] LIMA, E. L., Análise no Espaço Rⁿ . Rio de Janeiro: SBM - Coleção Matemática Universitária, 2002.

[2] LIMA, E. L., Análise Real - Volume 2. Rio de Janeiro: SBM - Coleção Matemática Universitária, 2004.

[3] LIMA, E. L., Curso de Análise - Volume 2. 8ª Edição. Rio de Janeiro: SBM - Projeto Euclides, 2005.

Complementar

[4] BARTLE, R. G., The Elements of Real Analysis. 2ª Edição. New York: John Wiley, 1976.

[5] RUDIN, W., Real and Complex Analysis. New York: McGraw-Hill, 1987.

[6] SPIVAK, M., O Cálculo em Variedades. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda, 2003.

[7] TRENCH, W. F., Introduction to Real Analysis. Trinity: Faculty Authored and Edited Books & CD's. 7, 2013. Disponível em <https://digitalcommons.trinity.edu/mono/7/?utm_source=digitalcommons.trinity.edu%2Fmono%2F7&utm_medium=PDF&utm_campaign=PDFCoverPages>

[8] LIMA, E. L., Curso de Análise - Volume 1. 13ª Edição. Rio de Janeiro: SBM - Projeto Euclides, 2011.

APROVAÇÃO

Aprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/______

Coordenação do Curso de Graduação: _________________________

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Documento assinado eletronicamente por Alisson Rafael Aguiar Barbosa, Professor(a) do Magistério Superior, em 29/05/2021, às 17:39, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.

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A autenticidade deste documento pode ser conferida no site https://www.sei.ufu.br/sei/controlador_externo.php?acao=documento_conferir&id_orgao_acesso_externo=0, informando o código verificador 2803880 e o código CRC A749CAA3.

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