UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA
Instituto de Ciências Exatas e Naturais do Pontal

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Timbre

Plano de Ensino

IDENTIFICAÇÃO

Componente Curricular:

Cálculo Numérico

Unidade Ofertante:

ICENP

Código:

GMT070

Período/Série:

3º

Turma:

MI21

Carga Horária:

Natureza:

Teórica:

90

Prática:

00

Total:

90

Obrigatória:

( x )

Optativa:

( )

Professor(A):

Edward Luís de Araújo

Ano/Semestre:

2020/01

Observações:

 

 

EMENTA

Noções sobre erros. Equações não lineares. Sistemas de equações lineares. Ajuste de curvas - método dos quadrados mínimos. Interpolação polinomial. Integração numérica. Solução numérica de equações diferenciais ordinárias.

JUSTIFICATIVA

Os métodos numéricos permitem resolver problemas nas mais variadas áreas do conhecimento. Os conceitos e métodos estudados na disciplina complementam o aprendizado de conceitos vistos em outras disciplinas. Na disciplina Cálculo Diferencial e Integral I, por exemplo, o aluno tem o primeiro contato com o importante Teorema Fundamental do Cálculo que lhe permite concluir que toda função contínua é integrável, mas só na disciplina atual será possível o aluno compreender que para muitas funções contínuas, o máximo que conseguimos obter é uma aproximação numérica para o valor da integral. Na disciplina Equações Diferenciais Ordinárias é apresentado ao aluno o importante Teorema de Existência e Unicidade de Solução de um problema de valor inicial sob determinadas hipóteses, mas só nesta disciplina o aluno terá a possibilidade de compreender que a obtenção de uma solução analítica para um problema de valor inicial em muitos casos é impossível, embora o Teorema garanta a existência e que para termos uma noção sobre o comportamento da solução é imprescindível utilizar as técnicas do Cálculo Numérico para a obtenção de uma aproximação numérica. As noções sobre erros são muito importantes para compreender como se propagam erros nos cálculos computacionais ou até mesmo numa simples calculadora científica.

OBJETIVO

Objetivo Geral:

Explicar os fundamentos dos principais métodos numéricos e utilizá-los com senso crítico, na simulação computacional de problemas físicos. Em todas as unidades que compõem a ementa, o objetivo é apresentar as técnicas mais utilizadas, estudar a convergência e possibilitar a escolha do método mais adequado a cada situação através da comparação dos diversos métodos estudados.

Objetivos Específicos:

Não constam na ficha da disciplina.

PROGRAMA

 

1. NOÇÕES SOBRE ERROS

1.1. Erro de arredondamento.

1.2. Erro de Truncamento.

1.3. Erro relativo e erro absoluto.

1.4. Erro de convergência.

1.5. Aritmética de Ponto Flutuante.

1.6. Efeitos Numéricos: cancelamento, propagação do erro, instabilidade numérica, mal condicionamento.

 

2. EQUAÇÕES NÃO LINEARES

2.1. Introdução.

2.2. Isolamento das raízes.

2.3. Método da bissecção.

2.4. Método da iteração linear.

2.5. Método de Newton Raphson.

2.6. Sistemas não lineares.

 

3. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

3.1. Introdução.

3.2. Métodos exatos.

       3.2.1. Método da eliminação de Gauss.

       3.2.2. Método da eliminação de Gauss com pivoteamento.

       3.2.3. Decomposição LU.

       3.2.4. Inversão de matrizes.

3.3. Métodos iterativos.

        3.3.1. Estudo da convergência dos métodos iterativos.

        3.3.2. Método de Gauss-Jacobi e Método de Gauss-Seidel.

 

4. AJUSTE DE CURVAS – MÉTODO DOS QUADRADOS MÍNIMOS

4.1. Caso discreto: linear e não-linear

4.2. Caso contínuo.

4.3. Análise do resultado: coeficiente de correlação.

 

5. INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL

5.1. Estudo da existência e unicidade do polinômio interpolador.

5.2. Polinômio de Lagrange.

5.3. Fórmula de Newton com diferenças divididas.

5.4. Fórmula de Newton-Gregory com diferenças finitas progressivas.

5.5. Estudo do erro da interpolação polinomial.

5.6. Interpolação inversa.

 

6. INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

6.1. Introdução.

6.2. Método de Newton-Cotes.

      6.2.1. Regra dos Trapézios.

      6.2.2 Regra 1/3 de Simpson.

      6.2.3. Estudo do erro da integração numérica.

6.3. Quadratura Gaussiana.

 

7. SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

7.1. Introdução.

7.2. Métodos da Série de Taylor.

       7.2.1. Método de Euler.

        7.2.2. Regra 1/3 de Simpson.

        7.2.3. Métodos de Runge-Kutta.

7.3. Métodos de Passo Múltiplo.

 

METODOLOGIA

 A disciplina será desenvolvida de forma remota em 15 semanas letivas e será organizada como segue:

AVALIAÇÃO

             Serão aplicadas quatro avaliações dissertativas, individual e sem consulta ao longo do semestre, nas seguintes datas:

Primeira Avaliação – 31/03/2021,

Segunda Avaliação – 28/04/2021,

Terceira Avaliação – 28/15/2021,

Quarta Avaliação – 16/06/2021,

a estas avaliações serão atribuídas as notas P1, P2, P3 e P4 respectivamente. As avaliações serão realizadas em atividades síncronas. Nos dias das avaliações os alunos deverão obrigatoriamente ativar a câmera (preferencialmente do notebook) e posicioná-la na sua frente de modo que seja possível visualizar o rosto, as mãos, a folha de prova e parte da mesa onde o aluno esteja resolvendo a prova. Para se alcançar a amplitude de imagem descrita na oração anterior, recomenda-se que o aluno posicione o seu notebook aproximadamente 1 metro a sua frente na mesa, onde resolverá a prova. Já fica marcada também a data da seguinte prova:

Prova Substitutiva – 18/06/2021,

que também será realizada durante uma atividade síncrona seguindo as mesmas regras descritas para as 4 primeiras avaliações.

          As quatro primeiras avaliações e a prova substitutiva realizadas pelos alunos em atividades síncronas deverão ser digitalizadas (escaneadas ou fotografadas) e entregues pelos alunos até 5 minutos após o encerramento das provas, este procedimento deve ser totalmente filmado pelo aluno, apenas nesta etapa os alunos poderão utilizar o celular para fotografar a prova, mas a câmera do notebook deverá estar ativada gravando todo o procedimento. As avaliações serão realizadas em folhas pautadas e numeradas para facilitar a referência na hora da correção e vista de prova. No início das mesmas os alunos deverão informar a quantidade de folhas que pretendem utilizar e o número de linhas de cada folha. Ao preencher totalmente uma página de prova o aluno deverá informar ao professor (o que é comparável no ensino presencial ao ato de solicitar mais uma folha de prova) que anotará o horário da ocorrência e quais exercícios foram resolvidos na mesma, com a finalidade de apurar se não há divergência entre o número de folhas preenchidas e entregues pelo aluno no final da prova. Os alunos poderão estregar exercícios avulsos resolvidos antes do término da prova para não serem prejudicados por eventuais problemas técnicos inerentes ao ensino remoto como “queda da internet”. O aluno que tiver a gravação da sua prova interrompida (câmera desativada) por tempo superior a 2 minutos deverá realizar uma segunda chamada da prova, mesmo que o motivo da interrupção seja alheio a sua vontade.

                A Nota Parcial (NP) do aluno será calculada pela seguinte fórmula:

NP = 2,5*P1 + 2,5*P2 + 2,5*P3 + 2,5*P4,

onde as notas das provas são pontuadas de 0 a 10 pontos com no máximo 3 casas decimais.

              (i) Se NP ≥ 60 e a frequência nas aulas for de no mínimo 75% o aluno estará aprovado e sua Nota Final (NF), será igual a sua Nota Parcial, ou seja,

NF = NP.

             (ii) Se NP < 60 e a frequência nas aulas for de no mínimo 75% o aluno poderá realizar a Prova Substitutiva que contemplará apenas o conteúdo da prova a ser substituída. Se a nota da prova a ser substituída for menor do que a nota da prova original, prevalecerá a nota maior apesar da prova ser substitutiva. Após a realização da prova substitutiva se NP ≥ 60 aplicar-se-á o item anterior, caso contrário o aluno estará reprovado.

            (iii) Se a frequência for inferior a 75%, independentemente de NP o aluno estará automaticamente reprovado, exceto nos caso excepcionais previstos nas normas acadêmicas.

           A validação da assiduidade dos alunos será feita através da presença nas atividades síncronas.

BIBLIOGRAFIA

Básica

[1] BARROSO, L., ET AL, Cálculo Numérico com Aplicações. 2ª Edição. São Paulo: Editora Harbra, 1987.

[2] FRANCO, N. M. B., Cálculo Numérico. 1ª Edição. São Paulo: Prentice-Hall Brasil, 2006.

[3] RUGGIERO, M. A. E LOPES, V. L. R., Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais. 2ª Edição. São Paulo: Makron Books, 1996.

Complementar

[4] ARENALES, S. E DAREZZO, A., Cálculo Numérico – Aprendizagem com Apoio de Software. São Paulo: Thomson Pioneira, 2007.

[5] BURDEN, R. L. E FAIRES, J. D., Análise Numérica. 8ª Edição. São Paulo: Thomson, 2008.

[6] MOLER, CLEVE B., Numerical Computation with Matlab, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathemathics, 2004.

[7] PUGA, L. Z.; TARCIA, J. H. M.; PAZ, A. P. Cálculo Numérico. 1. Ed. : LCTE, 2009.

[8] SPERANDIO, D., MENDES, J. T. E MONKEN, L. H., Cálculo Numérico. São Paulo: Prentice-Hall Brasil, 2003.  

 

APROVAÇÃO

Aprovado em reunião do Colegiado realizada em: ____/____/______

Coordenação do Curso de Graduação: _________________________

 

logotipo

Documento assinado eletronicamente por Alisson Rafael Aguiar Barbosa, Professor(a) do Magistério Superior, em 29/05/2021, às 17:36, conforme horário oficial de Brasília, com fundamento no art. 6º, § 1º, do Decreto nº 8.539, de 8 de outubro de 2015.
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Referência: Processo nº 23117.031085/2021-07 SEI nº 2803877